题目内容

设O为坐标原点，F₁，F₂是椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，则该椭圆的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），两边平方，再利用余弦定理即可求得该椭圆的离心率．
解答：令| $\text{[math]}$ |=m，| $\text{[math]}$ |=n，m+n=2a．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
即 $\text{[math]}$ a²= $\text{[math]}$ （m²+2mncos $\text{[math]}$ +n²），
∴3a²=m²+n²+mn=（m+n）²-mn=4a²-mn，
∴a²=mn．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得： $\text{[math]}$ =m²+n²-2mn× $\text{[math]}$ =（m+n）²-3mn，
即4c²=4a²-3mn=4a²-3a²=a²，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查向量的数量积与余弦定理的综合应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．

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