Question

设函数f（x）=－ax，其中a>0.

（1）解不等式f（x）≤1；

（2）求证：当a≥1时，函数f（x）在［0，+∞）上是单调函数.

Answer 1

（1）解：∵≤1+ax.

又a>0，∴.

当0<a<1时，解集为{x|0≤x≤}；

当a≥1时，解集为{x|x≥0}.

（2）证明：f′（x）=－a=－a，

∵x∈［0，+∞），<1，a≥1，

∴当x∈［0，+∞）时，f′（x）<0.

∴函数f（x）在［0，+∞）上为单调函数.

点评：（1）由本题（2）的证明过程可以看出，采用求导的方法对于证明一些含参数的函数的单调性是非常简便的，可以避免用定义证明所带来的烦琐运算.

（2）对于证明含参数的函数的单调性，应注意到，不仅要考虑到参数的范围，而且要结合自变量的范围来确定f′（x）的符号，否则会产生错误.