Question

设椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=，过椭圆外一点M（0，2）作直线l交椭圆与A，B两点，若△AOB的面积最大值为，求此椭圆方程和直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：由于，所以设椭圆方程为：，设直线l方程为：y=kx+2，两者联立，又借助于△AOB的面积最大值为，可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0，从而，故问题得解．
解答：解：∵，∴可设椭圆方程为：，显然直线l的斜率存在，
设直线l方程为：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…1'
由消去y整理，得（1+2k²）x²+8kx+8-2c²=0，
由韦达定理得，
∴
可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0（*）…8'
∵k²有解，∴△=（4S²-16c²）²-4×4S²×（S²-8c²+32）≥0，
解得，…10'
∴，∴c²=2，将c²=2，代入（*）得，…13'
综上所述，椭圆方程为：，直线l的方程为：，…14'
点评：本题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点，每年必考．一般都是联立直线与圆锥曲线方程消去一个未知数，得到一元二次方程，表示出两根之和与两根之积，再结合题意来解．