Question

4．已知△ABC的三条边长分别为3、2、4，则△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，内切圆半径r=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，外接圆半径为$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，三条边上的中线长为$\frac{\sqrt{31}}{2}$；$\frac{\sqrt{46}}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 直接运用正弦定理，余弦定理，面积公式，中线长公式求解．

解答 解：设三边为a=3，b=2，c=4，
则由余弦定理得，cosA=$\frac{2^2+4^2-3^2}{2×2×4}$=$\frac{11}{16}$，所以，sinA=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，
再根据正弦定理，外接圆直径为2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{16\sqrt{15}}{15}$，所以R=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，
又有S_△ABC=$\frac{1}{2}$×bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
且内切圆半径满足关系：S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，解得r=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
再根据中线长公式，设三边中线长分别为m_a，m_b，m_c，
m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（b^2+c^2）-a^2}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，同理，m_b=$\frac{\sqrt{46}}{2}$，m_c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案分别为：$\frac{3\sqrt{15}}{4}$；$\frac{\sqrt{15}}{6}$；$\frac{8\sqrt{15}}{15}$；$\frac{\sqrt{31}}{2}$；$\frac{\sqrt{46}}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题主要考查了运用正弦，余弦定理解三角形，涉及三角形的面积，外接圆半径，内切圆半径，中线长，属于中档题．