Question

已知a∈R，函数f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情况求|f（x）|的最大值．特别当0＜a＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小．
解答：解：（1）因为f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f^′（x）=3x²-6x+3a，
故f^′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a-3）x-3a+4；
（2）由于f^′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f^′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
当a≥1时，有f^′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a-1．
当0＜a＜1时，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得，．
所以，当x∈（0，x₁）时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，2）时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极大值，极小值．
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，．
从而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|．
又=
故．
当时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又=．
所以当时，f（x₁）＞|f（2）|．
故．
当时，f（x₁）≤|f（2）|．
故f（x）_max=|f（2）|=3a-1．
综上所述|f（x）|_max=．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题．