Question

【题目】已知函数f（x）x+alnx．

（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示）

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：．

Answer 1

【答案】（1）y＝（﹣2+a）x+2﹣a．（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求出切点坐标，根据导函数求出切线斜率，即可得到切线方程；

（2）求出导函数，对g（x）＝﹣x2+ax﹣1，进行分类讨论即可得到原函数单调性；

（3）结合（2）将问题转为证明1，根据韦达定理转化为考虑h（x）＝2lnx﹣x的单调性比较大小即可得证.

（1）∵f（x）x+alnx（x＞0）

∴f′（x）（x＞0）

∴当x＝1时，f（1）＝0，f′（1）＝﹣2+a，

设切线方程为y＝（﹣2+a）x+b，代入（1，0），得b＝2﹣a，

∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝（﹣2+a）x+2﹣a．

（2）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x），

设g（x）＝﹣x2+ax﹣1，注意到g（0）＝﹣1，

①当a≤0时，g（x）＜0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；

②当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，

（i）当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≤0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；

（ii）当a＞2时，令f′（x）＞0，得：x；

令f′（x）＜0，得：0＜x或x；

∴当a＞2时，f（x）在区间（，）单调递增，在（0，），（，+∞）单调递减；

综上所述，综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞2时，在（0，），（，+∞）上是减函数，

在区间（，）上是增函数．

（3）由（2）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，

则f（x1）﹣f（x2）x1+alnx1﹣[x2+alnx2]

＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2）

＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），

则2，

则问题转为证明1即可，

即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，

则lnx1﹣lnx1，

即lnx1+lnx1＞x1，

即证2lnx1＞x1在（0，1）上恒成立，

设h（x）＝2lnx﹣x，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，

求导得h′（x）10，

则h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x0，

故2lnx＞x，

则a﹣2成立．