Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=a_n•a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n，并比较S_n与．

Answer 1

解：（Ⅰ）a₁=f（1）==，a₂=f（a₁）=f（）==；
（Ⅱ）∵，
∴
∴
∵a₁=，∴=3
∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，
∴，
∴
（Ⅲ），
∴
n=1时，S₁=，=，S_n大于；
n=2时，S₂=，=，S_n大于，
n=3时，S₃=，=，S_n小于；
n=4时，S₄=，=，S_n大于；
猜想n≥4时，S_n大于；
证明如下：①n=4时，S₄=，=，S_n大于，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即，∴2^k＞6k-9
n=k+1时，有2^k+1+18＞2（6k-9）+18＞6（k+1）+9，
∴，结论成立
由①②可知，结论成立．
分析：（Ⅰ）根据a₁=f（1），a_n+1=f（a_n），代入即可求得a₁，a₂的值；
（Ⅱ）取倒数法，证明数列是首项为3，公差为2的等差数列，即可求得求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）先裂项求和，再分类讨论，利用数学归纳法证明．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，考查大小比较，确定数列的通项是关键．