Question

设A={1，2，…，18}. 求最小的正整数k，使得可以把集合A分成k个两两不交的子集A₁，A₂，…，A_k，对于任一子集）中的任意3个数a，b，c（可以是相同的），都有

Answer 1

解析：若A可以分成3个两两不交的子集x，y，z，其中任一个子集中的任意3个数a，b，c（可以是相同的），都有.

    X，Y，Z中一定有一个至少含有6个元素，不妨设X中至少有6个元素，且，则由题设知，均不在X中（否则，若，则，矛盾），于是它们在Y或者Z中，不妨设其中至少有3个在Y中，设为y₁，y₂，y₃，y₁<y­₂<y₃，则y₃－y­₁，y₃－y­₂均不在Y中，也不在X中（因为y­₃－y₁=（x₆－x _i）－（x ₆－x _j）= x _j－x _i，所以y₃－y₁不在X中，同理y₃－y₂不在X中），所以，y₃－y₁，y₃－y₂都在Z中，所以

    即不属于Z，也不属于Y，从上面可知也不属于X，矛盾.……………………10分

    所以，若A分成3个两两不交的子集X，Y，Z，不可能满足题设要求.

    另一方面，A可以分成如下4个满足要求的子集：

    A₁={1，4，7，10，13，16}，A₂={2，3，11，12}，

    A₃={5，6，8，9}，A₄={14，15，18}.

    所以，k的最小值为4.………………………………………………………………20分