Question

（2012•湛江模拟）已知函数f（x）的图象由函数g(x)=(

1

a

-

1

4

)•2x-1+

4a-1

2x-1

(a≠0)向左平移1个单位得到．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（3）若函数f（x）的最小值是m，且m＞

7

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数平移的性质进行求解；
（2）把a=1代入f（x），再根据均值不等式进行求解；
（3）对f（x）进行求导，利用导数研究函数的极值，对a进行讨论，研究函数的单调区间，从而进行求解；

解答：解：（1）∵已知函数f（x）的图象由函数g(x)=(

1

a

-

1

4

)•2x-1+

4a-1

2x-1

(a≠0)向左平移1个单位得到
依题意：f（x）=（

1

a

-

1

4

）•2^x+

4a-1

2x

（2）当a=1时，f（x）=

3

4

•2^x+

3

2x

≥2•

3 4 •2x• 3 2x

=3；
（3）∵f′（x）=（

1

a

-

1

4

）•2^x•ln2+

(4a-1)

2x

•ln

1

2

=

ln2[( 1 a - 1 4 )•(2x)2-(4a-1)]

2x

，
∴由f′（x）＞0，得：（

4-a

4a

）•（2^x）²＞4a-1  ①
①当

4-a 4a ＜0 4a-1＜0

，即a＜0，时，（2^x）²＞

4a(4a-1)

4a

，
当x＜log₂

4a(4a-1) 4-a

时，函数f（x）递增，
当x＞log₂

4a(4a-1) 4-a

时，函数f（x）递减，
∴函数f（x）只有最大值，矛盾；
②当

4-a 4a ＞0 4a-1≤0

，即0＜a≤

1

4

时，①式的解集为R，此时函数f（x）单调递增，
不存在最小值；
③当

4-a 4a ≤0 4a-1＞0

，即a≥4时，①式的解集为∅．
此时函数f（x）单调递减，不存在最小值；
④当

4-a 4a ＞0 4a-1＞0

，即

1

4

＜a＜4时，（2^x）²＞

4a(4a-1)

4-a

，
∴当x＞log₂

4a(4a-1) 4-a

时，函数f（x）递增，
当x＜log₂

4a(4a-1) 4-a

时，函数f（x）递减，
∴函数f（x）当=log₂

4a(4a-1) 4-a

时，有最小值2

(4-a)(4a-1) 4a

，
∴2

(4-a)(4a-1) 4a

＞

7

，
∴

1

2

＜a＜2，
综上所述，满足题意设条件的实数a的取值范围是（

1

2

，2）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，利用导数研究函数的单调性，难度比较大；