题目内容
已知数列{an}满足：
，（1）求证数列
为等差数列；（2）求数列{an}的前n项的和Sn；
（3）令
为数列{bn}的前n项的积，求证：
．
【答案】分析：（1）在等式an+1=2an+2n+2的两边同除以2n，利用等差数列的定义得到证明，
（2）利用对称数列的通项公式求出
，进一步求出数列{an}的通项公式．由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
（3））由于
，可得
．利用放缩法即可证得结论．
解答：解：（1）
，
∴
是公差为2，首项为
的等差数列
（2）由（1）知：
，∴
，
故
①
①×2得：
②
②-①得：
∴
（3）∵
∴
∵（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1）
∴
∴
∴
，
∴
．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握．求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．
（2）利用对称数列的通项公式求出
，进一步求出数列{an}的通项公式．由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．（3））由于
，可得
．利用放缩法即可证得结论．解答：解：（1）
，∴
是公差为2，首项为
的等差数列（2）由（1）知：
，∴
，故
①①×2得：
②②-①得：
∴
（3）∵
∴
∵（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1）
∴
∴
∴
，∴
．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握．求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．
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