题目内容

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D、E分别为AB、BC的中点，且 $数学公式$ • $数学公式$ = $数学公式$ • $数学公式$ ．
（1）求证：a²，b²，c²成等差数列；
（2）求∠B及sinB+cosB的取值范围．

解：（1）证明：由D、E分别为AB、BC的中点，可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ），∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴a²-b²=b²-c²，
∴a²，b²，c²成等差数列．
（2）解：由（1）得 $\text{[math]}$ ，
由余弦定理得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 0＜B≤ $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ ，B+ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
sinB+cosB的取值范围为（1， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，即（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ），化简可得 a²-b²=b²-c²．
（2）由余弦定理求得cosB≥ $\text{[math]}$ ，求得B的范围，可得到B+ $\text{[math]}$ 的范围，从而得到 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查向量在几何中的应用，等差数列的定义，余弦定理得应用，确定B的范围是解题的难点．