Question

（本小题14分）
已知函数.
(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；
(Ⅱ)求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知，……………………………………………………（2分）
.
故曲线在处切线的斜率为.…………………………………（4分）
(Ⅱ).……………………………………………………（5分）
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为.………………………………………（6分）
②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.………（8分）
（Ⅲ）由已知，转化为.…………………………………………………（9分）
……………………………………………………………………………（10分）
由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)……………………（11分）
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，…………（13分）
所以，
解得. ………………………………………………………………………（14分）

略