Question

已知函数f（x）=x²+x．
（1）数列{a_n}满足a₁＞0，a_n+1=f'（a_n），若

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

对任意n∈N₊恒成立，求a₁的取值范围；
（2）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=f（b_n），n∈N₊，记Cn=

1

1+bn

，S_k为数列{c_n}前k项和，T_k为数列{c_n}的前k项积，求证：

T1

S1+T1

+

T2

S2+T2

+…+

Tn

Sn+Tn

＜

7

10

．

Answer 1

分析：（1）根据题意得到a_n+1=2a_n+1，利用构造新数列的方法求出a_n+1=（a₁+1）2^n-1，进而得到

1

1+an

=

1

1+a1

(

1

2

)n-1，再求和整理可得a1＞3-

1

2n-2

即可得到答案．
（2）由b_n+1=b_n（b_n+1）即可得到Cn=

1

1+bn

=

bn

bn+1

，进而得到T_n=

b1

bn+1

，SK=1-

1

bk+1

，利用放缩法得到

1

bk+1

＜

1

bk2

，进一步利用放缩法得到

n

k=1

Tk

Sk+Tk

=

n

k=1

1

bk+1

＜

1

2

+

1

6

+

1

62

+

1

64

+…+

1

62n-2

，即可得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：函数f（x）=x²+x，
所以f′（x）=2x+1，
所以a_n+1=2a_n+1，即a_n+1+1=2（a_n+1），
所以{a_n+1}为等比数列，并且a_n+1=（a₁+1）2^n-1
所以

1

1+an

=

1

1+a1

(

1

2

)n-1
即有

n

i=1

1

1+ai

=

1

1+a1

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

2- 1 2n-1

1+a1

＜

1

2

对任意n∈N₊恒成立，
即有a1＞3-

1

2n-2

对任意n∈N₊恒成立，
故a₁≥3．
（2）由题意可得：函数f（x）=x²+x，
所以b_n+1=f（b_n）=b_n（b_n+1）
所以Cn=

1

1+bn

=

bn

bn+1

所以Tn=

b1

b2

•

b2

b3

…

bn

bn+1

=

b1

bn+1

，
又由b_n+1=b_n（b_n+1）得

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，
所以Cn=

1

bn

-

1

bn+1

，SK=1-

1

bk+1

，
因为b₁=1，b_k+1=b_k（b_k+1），所以b_k+1＞b_k²，即有

1

bk+1

＜

1

bk2

又因为b₁=1，b₂=2，b₃=6，
所以

n

k=1

Tk

Sk+Tk

=

n

k=1

1

bk+1

＜

1

2

+

1

6

+

1

62

+

1

64

+…+

1

62n-2

＜

1

2

+

1 6

1- 1 6

=

7

10

．

点评：解决此类问题的关键是数列掌握求数列通项与数列求和的方法，而在证明不等式或者证明不等式恒成立等问题时最常用的方法是放缩法．