Question

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0 ）的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2．设A、B是上半椭圆上满足

NA

=λ

NB

的两点，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]．
（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求椭圆方程，利用已知

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2可得关于a，b，c的关系式，进而解出a，b得到标准方程；求直线AB的斜率的取值范围，可设其斜率为k，则利用前面的结果，得到直线AB的点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）利用设而不求的思想，建立起λ与k的关系λ=f（k），进而利用λ∈[

1

5

，

1

3

]的范围解出k的取值范围．
（2）本问题可通过利用函数（椭圆的上半部分图象是一个函数关系）的导数求出斜率，进而得到切线方程，求出点P的坐标，可观察点P在某条定直线上即可．要求点P的纵坐标的取值范围，可在上面得到坐标的基础上，利用（1）的结论，建立纵坐标与直线AB的斜率的关系来求其范围．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，∴

2c= F1F2 |=2 a2 c -1=|NF1|=1 a2=b2+c2

．
解得

a2=2 b2=1

，从而所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．（3分）
∵

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

，消去x得(

1

k

y-2))2+2y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0，
根据条件可知

△=( 4 k )2-8• 2k2+1 k2 ＜0 k≠0

，解得0＜|k|＜

2

2

（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得

y1+y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1

又由

NA

=λ

NB

，得（x₁+2，y₁）=λ（x2₊2，y₂），∴

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2

从而

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λy 2 2 = 2k2 2k2+1

，消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

，
令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]，则φ′(λ)=(λ+

1

λ

+2)′=1-

1

λ2

=

λ2-1

λ2

，
由于

1

5

≤λ≤

1

3

，所以φ′（λ）＜0．
∴φ（λ）是区间[

1

5

，

1

3

]上的减函数，从而φ(

1

3

)≤φ(λ)≤φ(

1

5

)，
即

16

3

≤φ(λ)≤

36

5

，
∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
∴解得

2

6

≤|k|≤

1

2

，而0＜k＜

2

2

，
∴

2

6

≤k≤

1

2

，
因此直线AB的斜率的取值范围是[

2

6

，

1

2

]（7分）

（2）上半椭圆的方程为y=

1- 1 2 x2

，
且y1=

1- 1 2 x 2 1

，y2=

1- 1 2 x 2 2

，
求导可得y′=

-x

2 1- 1 2 x2

，
所以两条切线的斜率分别为kPA=

x1

2 1- 1 2 x 2 1

=-

x1

2y1

，
kPB=-

x2

2 1- 1 2 x 2 2

=-

x2

2y2

（8分）

[解法一]：切线PA的方程是y-y1=-

x1

2y1

(x-x1)，即y=-

x 2 1 + 2y 2 1

2y1

．
又x₁²+2y₁²=2，从而切线PA的方程为y=-

x1x

2y1

+

1

y1

，
同理可得切线PB的方程为y1=-

x2x

2y2

+

1

y2

，
由

y=- x1x 2y1 + 1 y1 y=- x2x 2y2 + 1 y2

，可解得点P的坐标（x₀，y₀）满足

x0=- 2(y2-y1) x2y1-x1y2 y0= x2-x1 x2y1-x1y2

再由

x1+2=λ(x2+2) y1+λ=y2

，得

x1+2

y1

=

x2+2

y2

?x₂y₁-x₁y₂=2（y₂-y₁）
∴

x0=- 2(y2-y1) 2(y2-y1) =-1 y0= x2-x1 2(y2-y1) = 1 2kAB

（11分）
又由（1）知

2

6

≤kAB≤

1

2

?2≤

1

kAB

≤3

2

，∴1≤y0≤

3 2

2

．
因此点P在定直线x=-1上，并且点P的纵坐标的取值范围是[1，

3 2

2

]（12分）

[解法二]：设点P的坐标为（x₀，y₀），
则可得切线PA的方程是y-y0=-

x1

2y1

(x-x0)，
而点A（x₁，y₁）在此切线上，
所以有y1-y0=-

x1

2y1

（x₁-x₀），即x₀x₁+2y₀y₁=x₁²+2y₁²（9分）
所以有x₀x₁+2y₀y₁=2，①
同理可得x₀x₂+2y₀y₂=2②
根据①和②可知直线AB的方程为x₀x+2y₀y=2
而直线AB过定点N（-2，0），
∴-2x₀=2?x₀=-1，直线AB的方程为-2x+2y₀y=2，
∴k_AB=

1

2y0

（11分）
又由（1）知

2

6

≤kAB≤

1

2

，
所以有

2

6

≤

1

2y0

≤

1

2

?1≤y0≤

3 2

2

因此点P在定直线x=-1上，并且点P的纵坐标的取值范围是[1，

3 2

2

]．（12分）

点评：本小题考查椭圆的概念，椭圆方程的求法，椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及与向量知识的综合应用．本题综合运用了向量法，解不等式的方法，设而不求等思想方法；本题考查椭圆的知识综合性较强，应用概念也较为灵活，对学生的综合能力素质要求较高．