Question

已知

a

、

b

均为单位向量．
（1）记x为

a

在

a

+

b

方向上的正射影的数量；y为

b

在

a

+

b

方向上的正射影的数量．试比较x与y的大小关系，并说明理由；
（2）若

a

+

b

=(

3

2

，

1

2

)，求向量

a

与

b

．

Answer 1

分析：（1）由正摄影可得x，y的值，作差变形可比较大小；
（2）设

a

=（x，y），

b

=（m，n），由向量的模长均为1，以及加和的坐标，可得关于xymn的方程组，解之可得．

解答：解：（1）由题意可得x=

a •( a + b )

| a + b |

，y=

b •( a + b )

| a + b |

，
又∵|

a

|=1，|

b

|=1，∴x-y=

a • a + a • b

| a + b |

-

b • b + a • b

| a + b |

=

1+ a • b -(1+ a • b )

| a + b |

=0，∴x=y．
（2）设

a

=（x，y），

b

=（m，n），
由题意可得

x2+y2=1 m2+n2=1 x+m= 3 2 y+n=- 1 2

，解之可得

x=0 y=1 m= 3 2 n=- 1 2

，或

x= 3 2 y=- 1 2 m=0 n=1

故

a

=（0，1），

b

=(

3

2

，-

1

2

)或

a

=(

3

2

，-

1

2

)，

b

=（0，1）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的正摄影和模长公式，属中档题．