Question

已知函数f（x）=2^x，g（x）=

1

2|x|

+2．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）求满足方程f（x）-g（x）=0的x的值．

Answer 1

分析：（1）求函数g（x）的值域先研究其性质，由于|x|≥0，故得0＜（

1

2

）^|x|≤1，代入g（x）=

1

2|x|

+2求值域，此方法先求局部取值范围再研究整体的值域．
（2）将f（x）=2^x，g（x）=

1

2|x|

+2代入方程f（x）-g（x）=0得2^x-

1

2|x|

-2=0，解此指数型方程求x的值

解答：解：（1）g（x）=

1

2|x|

+2=（

1

2

）^|x|+2，
因为|x|≥0，所以0＜（

1

2

）^|x|≤1，即2＜g（x）≤3，
故g（x）的值域是（2，3]．
（2）由f（x）-g（x）=0得2^x-

1

2|x|

-2=0，
当x≤0时，显然不满足方程，即只有x＞0满足2^x-

1

2x

-2=0，
整理得（2^x）²-2•2^x-1=0，（2^x-1）²=2，
故2^x=1±

2

，
因为2^x＞0，所以2^x=1+

2

，即x=log₂（1+

2

）．

点评：本题考点是指数函数综合题，考查求函数的值域与解指数型方程，解题过程中要注意指数函数的值域是（0，+∞）这一隐含条件．