Question

已知n∈N^*，且(x+

1

2

)n展开式中前三项系数成等差数列．
（1）求n；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）若(x+

1

2

)n=a0+a1(x-

1

2

)+a2(x-

1

2

)2+…+an(x-

1

2

)n，求a₀+a₁+…+a_n的值．

Answer 1

分析：（1）根据通项公式和题中条件求得

C

0 n

+(

1

2

)2

C

2 n

=2(

1

2

C

1 n

)，由此解得n的值．
（2）由（1）知，二项式系数最大的值为

C

4 8

，为第五项，利用通项公式求得第五项．
（3）分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和．

解答：解：（1）由于二项式的通项公式为T_r+1=

C

r n

 x^n-r•(

1

2

)r=(

1

2

)r•

C

r n

•x^r，
则由题意得

C

0 n

+(

1

2

)2

C

2 n

=2(

1

2

C

1 n

)，…（2分）
解得n=8．…（4分）
（2）由（1）知，二项式系数最大的值为

C

4 8

，为第五项．…（6分）
且 T5=

C

4 8

x4(

1

2

)4=

35

8

x4．…（8分）
（3）∵(x+

1

2

)8=[(x-

1

2

)+1]8=a0+a1(x-

1

2

)+a2(x-

1

2

)2+…+a8(x-

1

2

)8，…（9分）
令x=

3

2

，…（10分）
得a0+a1+…+a8=28=256．…（12分）

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．