Question

直线l与抛物线y²=x交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若y₁y₂=-1，点O为坐标原点，则△AOB是（　　）

• A、直角三角形
• B、钝角三角形
• C、锐角三角形
• D、任意三角形

Answer 1

分析：由于直线l抛物线交于点A，B两点，且y₁y₂=-1，即可得到x₁x₂=1，再由斜率之积为-1，得到OA⊥OB，即得答案．

解答：解：①若直线l与x轴垂直，
由于y₁y₂=-1得到点A（x₁，1），B（x₂，-1），
又由点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y²=x上，
则点A（1，1），B（1，-1），
显然△AOB是直角三角形
②设直线l的方程可表示为y=kx+b（k≠0）
联立抛物线方程y²=x，得到y²=

y-b

k

，（kx-b）²=x，
即y₁y₂=-

b

k

，x₁x₂=

b2

k2

，
又由y₁y₂=-1，则b=k，
则x₁x₂=1，
又由k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=-1，则OA⊥OB
故△AOB是直角三角形，
故选：A．

点评：本题主要考查抛物线的基本性质，直线与圆锥曲线是高考的重点，每年必考，要着重复习．