题目内容

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）．
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）若方程f（x）=1恰有3个不同的根，求实数a的取值范围；
（3）设a＞0，问是否存在 $数学公式$ ，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，则f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，得x=a或 $\text{[math]}$ ，而g（x）在x= $\text{[math]}$ 处有极大值，
∴ $\text{[math]}$ =a或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴a=-1或a=3；
（2）根据题意，方程f（x）-1=0恰有3个不同的根
1°当 $\text{[math]}$ 即a＜0时，f（x）在x=a处取得极大值，而f（a）=0，不符合题意，舍去；
2°当 $\text{[math]}$ 即a=0时，不符合题意，舍去；
3°当 $\text{[math]}$ 即a＞0时，f（x）在x= $\text{[math]}$ 处取得极大值，f（ $\text{[math]}$ ）＞1，
∴a＞ $\text{[math]}$
（3）假设存在，即存在 $\text{[math]}$ ，使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]=x（x-a）²+（x-a）（x+1）=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
当 $\text{[math]}$ 时，又a＞0，故x-a＜0，
则存在 $\text{[math]}$ ，使得x²+（1-a）x+1＜0，
1°当 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ 即a＞3时，（ $\text{[math]}$ ）²+（1-a）× $\text{[math]}$ +1＜0得a＞3或a＜- $\text{[math]}$ ，∴a＞3；
2°当-1≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，即0＜a≤3时， $\text{[math]}$ ＜0得a＜-1或a＞3，∴a无解；
综上：a＞3．
分析：（1）对函数f（x）求导，由f'（x）=0，可得=a或 $\text{[math]}$ ，而g（x）在x= $\text{[math]}$ 处有极大值，故可建立方程，即可求得结论；
（2）根据题意，方程f（x）-1=0恰有3个不同的根，比较极值点的大小，即可得到结论；
（3）假设存在，存在 $\text{[math]}$ ，使得使得f（x）-g（x）＞0，由 $\text{[math]}$ 及a＞0，可得x-a＜0，从而使得x²+（1-a）x+1＜0，结合二次函数的性质求解
点评：本题主要考查了导数在求解极值中的应用，解得本题不但要熟练掌握函数的导数的相关的知识，还要具备一定的逻辑推理的能力，属于中档题．