Question

已知a＞0，设

lim

n→∞

an

1+an

=m，则m取值范围的集合是（　　）

• A．{0，

  1

  2

  ，1}
• B．{0，1}
• C．{0，

  1

  2

  }
• D．{

  1

  2

  ，1}

Answer 1

分析：首先分析题目已知a＞0，设

lim

n→∞

an

1+an

=m，求m的取值范围的集合．可以考虑分类讨论a的取值范围：当0＜a＜0时候，当a=1时候，当a＞0时候，极限的取值，即可得到m的取值范围．

解答：解：已知a＞0，设

lim

n→∞

an

1+an

=m，
当0＜a＜0时候，

lim

n→∞

an=0，则

lim

n→∞

an

1+an

=0，故m=0
当a=1时候，

lim

n→∞

an=1，则

lim

n→∞

an

1+an

=

1

2

，故m=

1

2

当a＞0时候，

lim

n→∞

1

an

=0，则

lim

n→∞

an

1+an

= 

lim

n→∞

 

1

1 an +1

=1，故m=1．
故选A．

点评：此题主要考查极限及其运算问题，其中涉及到等比数列极限的问题以及分类讨论的思想，这两个考点都属于重点考点，在高考中多次出现，同学们需要注意．