Question

（理）已知函数f（x）=x²-5x，数列{a_n}的通项公式为an=n+

6

n

(n∈N*)．当|f（a_n）-14|取得最小值时，n的所有可能取值集合为

{1，6}

．

Answer 1

分析：令g（n）=|f（a_n）-14|对其进行配方，数列{a_n}的通项公式为an=n+

6

n

(n∈N*)．利用均值不等式求出最小值，当|f（a_n）-14|取得最小值时，说明f（a_n）越接近14，此时|f（a_n）-14|取得最小值，从而求出n的所有可能取值集合；

解答：解：令g（n）=|f（a_n）-14|=|a_n²-5a_n-14|=|（a_n-

5

2

）²-20.25|，
∵an=n+

6

n

(n∈N*)可得，a_n=n+

6

n

≥2

6

，
要使g（n）最小，（n+

6

n

-

5

2

）²要尽量接近20.25，
∴令（n+

6

n

-

5

2

）²=20.25，
∴n+

6

n

-

5

2

=±

20.25

，∵a_n＞2

6

，
∴n+

6

n

=2.5+

20.25

=7，
解得n=1或6，n的所有可能取值集合为{1，6}，
故答案为{1，6}；

点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，同时考查了基本不等式，是一道综合性较强的题目，属于难题．