题目内容

观察下列不等式：
①数学公式＜1；②数学公式+；③数学公式；…则第5个不等式为________．


分析：前3个不等式有这样的特点，第一个不等式含1项，第二个不等式含2项，第三个不等式含3项，且每一项的分子都是1，分母都含有根式，根号内数字的规律是2；2，6；2，12；由此可知，第n个不等式左边应含有n项，每一项分子都是1，分母中根号内的数的差构成等差数列，不等式的右边应是根号内的序号数．
解答：由①＜1；
②+；
③；
归纳可知第四个不等式应为；
第五个不等式应为．
故答案为．
点评：本题考查了合情推理中的归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理．是基础题．
练习册系列答案
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观察下列不等式：
1
2
•1≥
1
1
•
1
2
，
1
3
•(1+
1
3
)≥
1
2
•(
1
2
+
1
4
)，
1
4
•(1+
1
3
+
1
5
)≥
1
3
•(
1
2
+
1
4
+
1
6
)，…，由此猜测第n个不等式为
 
．（n∈N*）
观察下列不等式：1＞
1
2
，1+
1
2
+
1
3
＞1，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
7
＞
3
2
，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
15
＞2，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
31
＞
5
2
，…，由此猜测第n个不等式为
 
（n∈N*）．
（2012•陕西）观察下列不等式：
1+
1
22
＜
3
2
，
1+
1
22
+
1
32
＜
5
3
，
1+
1
22
+
1
32
+
1
42
＜
7
4

…
照此规律，第五个不等式为
1+
1 
22
+
1 
32
+
1 
42
+
1 
52
+
1 
62
＜
11
6 
1+
1 
22
+
1 
32
+
1 
42
+
1 
52
+
1 
62
＜
11
6 
．
已知x＞0，观察下列不等式：①x+
1
x
≥2，②x+
4
x2
≥3③x+
27
x3
≥4，…，则第n个不等式为
x+
nn
xn
≥n+1
x+
nn
xn
≥n+1
．
若xi＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x1+x2）（
1
x1
+
1
x2
）≥4，（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+ 
1
x3
）≥9，…，

请你猜测（x1+x2+…+xn）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

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