题目内容
若xi＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x1+x2）（
+
）≥4，（x1+x2+x3）（
+
+
）≥9，…，
请你猜测（x1+x2+…+xn）（
+
+…+
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
请你猜测（x1+x2+…+xn）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
分析：根据不等式：（x1+x2）（
+
）≥4，（x1+x2+x3）（
+
+
）≥9，…，可以猜测（x1+x2+…+xn）（
+
+…+
）≥n2（n≥2），再用数学归纳法证明．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
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| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
解答：解：满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（
+
+…+
）≥n2（n≥2），
证明如下：
（1）当n=2时，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xn）（
+
+…+
）≥k2，
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（
+
+…+
）≥k2+2k+1=（k+1）2
则当n=k+1时猜想也成立，根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥2都成立．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
证明如下：
（1）当n=2时，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xn）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
则当n=k+1时猜想也成立，根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥2都成立．
点评：本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设．
练习册系列答案
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）≥4，（x1+x2+x3）（
）≥9，…，
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．
≥9，…，
满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。
）≥4，（x1+x2+x3）（
）≥9，…，
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．
）≥4，（x1+x2+x3）（
）≥9，…，
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．