题目内容

已知F₁、F₂分别是双曲线C： $数学公式$ 的左、右焦点，点A在双曲线C上，点M（1，0）．若AM平分∠F₁AF₂，则|AM|=________．

2 $\text{[math]}$
分析：首先求出双曲线 $\text{[math]}$ 的半焦距c=3，可得左焦点F₁（-3，0），右焦点F₂（3，0），求出|MF₁|=4，|MF₁|=2．再利用三角形内角平分线定理，在△F₁AF₂中根据AM平分∠F₁AF₂，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，所以|AF₁|=2|AF₂|，结合双曲线的定义得|AF₁|-|AF₂|=2a=4，从而有|AF₁|=8，|AF₂|=4，最后分别在△F₁AF₂中和△MAF₂中利用余弦定理，可得|AM|²=24，从而得到|AM|=2 $\text{[math]}$ ．
解答：

∵双曲线C的方程为 $\text{[math]}$
∴c²=4+5=9，c=3，可得左焦点F₁（-3，0），右焦点F₂（3，0），
因此|MF₁|=1+3=4，|MF₁|=3-1=2，
∵△F₁AF₂中，AM平分∠F₁AF₂，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，可得|AF₁|=2|AF₂|
又∵点A在双曲线C上，|AF₁|-|AF₂|=2a=4
∴|AF₁|=8，|AF₂|=4
∴△F₁AF₂中，cos∠F₁F₂A= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
所以在△MAF₂中，|AM|²=2²+4²-2×2×4cos∠F₁F₂M=24
∴|AM|= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
故答案为：2 $\text{[math]}$
点评：本题给出双曲线的焦点三角形F₁AF₂中，角A的平分线恰好经过点M（1，0），求线段AM的长度，着重考查了双曲线的简单性质、三角形内角平分线定理和余弦定理等知识点，属于中档题．