题目内容

已知函数 $数学公式$ 在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，则实数a的取值范围是________．

a＞ $\text{[math]}$ 或0＜a＜ $\text{[math]}$
分析：欲使函数 $\text{[math]}$ 在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，就a的值分情况讨论，转化成 $\text{[math]}$ ＞1（或＜1）在x∈（1，2]上的恒成立，根据函数 $\text{[math]}$ 在（1，2]上的单调性求出最大（小）值即可得到实数a的取值范围．
解答：欲使函数 $\text{[math]}$ 在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，
（1）当a＞1时，转化成 $\text{[math]}$ ＞1在x∈（1，2]上的恒成立，
即a＞ $\text{[math]}$
由于函数 $\text{[math]}$ 在（1，2]上的最大值为 $\text{[math]}$ ，
∴a＞ $\text{[math]}$ ；
（2）当0＜a＜1时，转化成0＜ $\text{[math]}$ ＜1在x∈（1，2]上的恒成立，
即a＜ $\text{[math]}$ 且a＞ $\text{[math]}$
由于函数 $\text{[math]}$ 在（1，2]上的最小值为 $\text{[math]}$ ，
且函数 $\text{[math]}$ 在（1，2]上的最大值为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜a＜ $\text{[math]}$ ；
综上所述，实数a的取值范围是：a＞ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜a＜ $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了二次函数恒成立问题，以及函数的单调性等有关基础知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．