Question

在(

2

x+

3	3

y)100的展开式中，系数为有理数的项共有

 

项．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令各项的指数为整数，求出系数为有理数的项．

解答：解：(

2

x+

3	3

y)100的展开式的通项T_r+1=C₁₀₀^r•（(

2

x)100-r•(

3	3

y)r=C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，
该项的系数为C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，，
要满足C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，是有理数，则r应是6的倍数．
∵0≤r≤100且r∈Z，∴r=0，6，12，18，，96
∴系数为有理数的项共有17项．
故答案为17

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．