Question

15．半径为1的球O内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，设球心为O点，上下底面的中心分别为O₁，O₂．设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．可得O₂A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．在Rt△OAO₂中，利用勾股定理可得$\frac{{h}^{2}}{4}+\frac{1}{3}{x}^{2}$=1，由于S_侧=3xh，可得S_侧²=9x²h²=12x²（3-x²）$≤12（\frac{{x}^{2}+3-{x}^{2}}{2}）^{2}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
设球心为O点，上下底面的中心分别为O₁，O₂．
设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．
则O₂A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△OAO₂中，$\frac{{h}^{2}}{4}+\frac{1}{3}{x}^{2}$=1，
化为h²=4-$\frac{4}{3}$x²．
∵S_侧=3xh，
∴S_侧²=9x²h²=12x²（3-x²）$≤12（\frac{{x}^{2}+3-{x}^{2}}{2}）^{2}$=27．
当且仅当x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时取等号，S_侧=3$\sqrt{3}$．
∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-3$\sqrt{3}$，
故答案为：4π-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正三棱柱的性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．