Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．
（1）试推断f（x）在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并说明你的理由；
（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若g（x₁）=g（x₂）=0，求|x₁-x₂|的取值范围；
（3）求证：f（m+3）＞0．

Answer 1

（1）∵存在实数m，使f（m）=-a．
∴方程ax²+bx+c+a=0有实根?△=b²-4a（a+c）≥0…（*）

∵f(1)=0

，
∴a+b+c=0，结合a＞b＞c得a＞0，c＜0
再将a+c=-b代入不等式（*），得
b²-4a•（-b）=b（b+4a）≥0，
∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0
∴b≥0.
可得二次函数f（x）=ax²+bx+c图象开口向上，且关于直线x=-

b

2a

对称
∵-

b

2a

＜0，f（x）在[-

b

2a

，+∞）上是增函数．
∴f（x）在区间[0，+∞）上是增函数…（3分）
（2）根据题意，得x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的两实根．
根据根与系数的关系得：

x1+x2=- 2b a x1•x2= c a

∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 4b2 a2 - 4c a = 4 a2 (b2-ac)= 4 a2 [(a+c)2-ac]

=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]=4(

c

a

+

1

2

)2+3.

，

∵a＞b=-（a+c）．
∴2a＞-c＞0?

c

a

＞-2，又a+c=-b≤0，
∴

c

a

≤-1?(

c

a

+

1

2

)2∈[

1

4

，

9

4

)．
∴|x1-x2|∈[2，2

3

)，…．（8分）
（3）∵f(1)=0．设f(x)=a(x-1)(x-

c

a

)．
∵f（m）=-a，
∴a(m-1)(m-

c

a

)=-a

?(m-1)(m- c a )=-1＜0

，
∴

c

a

＜m＜1?m＞-2?m+3＞1
∵f（x）在区间[0，+∞）上是增函数
∴f(m+3)＞f(1)=0.．…（14分）