Question

已知点P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左右焦点，且|F₁F₂|=

b2

a

，I为三角形PF₁F₂的内心，若S_△IPF1=S_△IPF2+λS_△IF1F2成立，则λ的值为（　　）

• A．

  1+2 2

  2

• B．2

  3

  -1
• C．

  2

  +1
• D．

  2

  -1

Answer 1

分析：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，由|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，用△PF₁F₂的边长和r表示出等式中的
三角形的面积，解此等式求出λ．

解答：解：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
S_△IPF1 =

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|•r，S_△IF1F2=

1

2

•2c•r=cr，
由题意得：

1

2

|PF₁|•r=

1

2

|PF₂|•r+λcr，
故λ=

|PF1|-|PF2|

2c

=

a

c

，
∵|F₁F₂|=

b2

a

，
∴2c=

b2

a

=

c2-a2

a

∴(

a

c

)2+

2a

c

-1=0
∴

a

c

=

2

-1
故选D．

点评：本题考查双曲线的定义和简单性质，考查三角形面积的计算，考查利用待定系数法求出参数的值．