如果数列{an}满足:a1+a2+a3+-+an=0且|a1|+|a2|+|a3|+-+|an|=1(n≥3.n∈N*).则称数列{an}为n阶“归化数列．(1)若某4阶“归化数列 {an}是等比数列.写出该数列的各项,(2)若某11阶“归化数列 {an}是等差数列.求该数列的通项公式,(3)若{an}为n阶“归化数列 .求证:a1+12a2+13a3+-+1nan� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如果数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=0且|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1（n≥3，n∈N^*），则称数列{a_n}为n阶“归化数列”．
（1）若某4阶“归化数列”{a_n}是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某11阶“归化数列”{a_n}是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若{a_n}为n阶“归化数列”，求证：a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n

a_n≤

1

2

-

1

2n

．

考点：等比关系的确定,等差关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出4阶“归化数列”{a_n}的首项和公比，由a₁+a₂+a₃+a₄=0求出公比，再结合|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|=1求出首项，则数列的各项可求；
（2）设出等差数列的公差，结合a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=0可得a₆=0，然后分公差大于0和公差小于0两种情况列式求首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（3）由归化数列定义可知{a_n}中所有正数项的和等于

1

2

，所有负数项的和等于-

1

2

，然后利用放缩法证明题中所给的不等式．

解答： （1）解：设a₁，a₂，a₃，a₄成公比为q的等比数列，显然q≠1，则由a₁+a₂+a₃+a₄=0，
得

a1(1-q4)

1-q

=0，解得q=-1．
由|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|=1，得4|a₁|=1，解得a1=±

1

4

．
∴数列

1

4

，-

1

4

，

1

4

，-

1

4

或-

1

4

，

1

4

，-

1

4

，

1

4

为所求四阶“归化数列”；
（2）解：设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a₁₁的公差为d，
由a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=0，得：
11a1+

11×10d

2

=0，
∴a₁+5d=0，即a₆=0，
当d=0时，与归化数列的条件相矛盾，
当d＞0时，由a1+a2+…+a5=-

1

2

，a6=0，得：

5a1+10d=-

1

2

a1+5d=0

，解得d=

1

30

，a1=-

1

6

，
∴an=-

1

6

+

n-1

30

=

n-6

30

(n∈N*，n≤11)．
当d＜0时，由a1+a2+…+a5=

1

2

，a6=0，得：

5a1+10d=

1

2

a1+5d=0

，解得d=-

1

30

，a1=

1

6

，
∴an=

1

6

-

n-1

30

=-

n-6

30

（n∈N^*，n≤11）．
∴an=

n-6

30

d＞0

-

n-6

30

d＜0

（n∈N^*，n≤11）；
（3）证明：由已知可知，必有a_i＞0，也必有a_j＜0（i，j∈{1，2，…，n，且i≠j）．
设ai1，ai2，…，aip为诸a_i中所有大于0的数，aj1，aj2，…，ajm为诸a_i中所有小于0的数．
由已知得X=ai1+ai2+…+aip=

1

2

，Y=aj1+aj2+…+ajm=-

1

2

．
∴a1+

1

2

a2+…+

1

n

an=

p

k=1

aik

ik

+

m

k=1

ajk

jk

≤

p

k=1

aik+

1

n

m

k=1

ajk=

1

2

-

1

2n

．

点评：本题考查等差关系和等比关系的确定，考查了等比数列和等差数列通项公式的求法，训练了放缩法证明不等式，解答此题的关键是对新定义“归化数列”的理解，是中档题．

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