Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|3x-1|+ax+3．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x-1|+x+3，分当x≥

1

3

时和当x＜

1

3

时两种情况，分别求出不等式的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，为f（x）═

(3+a)x+2，(x≥ 1 3 ) (a-3)x+4．(x＜ 1 3 )

，f（x）有最小值的充要条件为

3+a≥0 a-3≤0

，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x-1|+x+3．
当x≥

1

3

时，f（x）≤5可化为3x-1+x+3≤5，解之得

1

3

≤x≤

3

4

；
当x＜

1

3

时，f（x）≤5可化为-3x+1+x+3≤5，解之得-

1

2

≤x＜

1

3

．
综上可得，原不等式的解集为{x|-

1

2

≤x≤

3

4

}．…（5分）
（Ⅱ）f(x)=|3x-1|+ax+3=

(3+a)x+2，(x≥ 1 3 ) (a-3)x+4．(x＜ 1 3 )

函数f（x）有最小值的充要条件为

3+a≥0 a-3≤0

，即-3≤a≤3，
故实数a的取值范围是[-3，3]．…（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．