Question

已知三棱锥A―BCD的侧棱AB⊥底面BCD，BC = CD，∠BCD = 90°，∠ADB = 30°，E、F分别是侧棱AC、AD的中点.

（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；

（2）求平面BEF和平面BCD所成的角.

Answer 1

解：（1）∵AB⊥底面BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面ABC.

∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD.

∴EF⊥平面ABC，∴平面BEF⊥平面ABC.

（2）设平面BEF与面BCD交线为l，则B∈l (如图).

∵EF∥DC，面BEF，∴DC∥面BEF.

∵面BCD∩面BEF = l，面BCD，∴DC∥l.

又DC⊥平面ABC，∴l⊥面ABC. 面ABC与面BEF、面BCD交于BE、BC，

∴∠EBC是二面角BEF―l―BDC所成的平面角.

过E作EG⊥BC于G，又AB⊥BC，   

∴EG∥AB，且EG =AB.

设BC = CD = 1，则BG =，BD =，

又∠ADB = 30°，∴.

∴tan∠EBG =. ∴平面BEF和平面BCD所成的角为arctan.