题目内容

已知非零向量
a
，
b
满足
a
+3
b
与7
a
-5
b
互相垂直，
a
-4
b
与7
a
-2
b
互相垂直，则
a
与
b
的夹角为
π
3
π
3
．
分析：由题意可得
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0     ①
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0        ②
，联立可解得
b
2=2
a
•
b
，|
a
|=|
b
|，代入向量的夹角公式可得其余弦值，由夹角的范围可得．
解答：解：设
a
与
b
的夹角为θ，θ∈[0，π]
由题意可得
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0
，
即
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0     ①
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0        ②
，
②-①可得23
b
2-46
a
•
b
=0，即
b
2=2
a
•
b
，
再代入①可得
a
2=
b
2，即|
a
|=|
b
|，
∴cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
，又θ∈[0，π]
∴θ=
π
3

故答案为：
π
3
点评：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知非零向量
e1
，
e2
，
a
，
b
满足
a
=2
e1
-
e2
，
b
=k
e1
+
e2
．
（1）若
e1
与
e2
不共线，
a
与
b
是共线，求实数k的值；
（2）是否存在实数k，使得
a
与
b
不共线，
e1
与
e2
是共线？若存在，求出k的值，否则说明理由．
已知非零向量
AB
与
AC
满足（
AB
|
AB|
+
AC
|
AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB|
•
AC
|
AC|
=-
1
2
，则△ABC为（　　）
A、等腰非等边三角形
B、等边三角形
C、三边均不相等的三角形
D、直角三角形
已知非零向量
AB
与
AC
满足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
).
BC
=0且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
． 则△ABC为（　　）

已知非零向量、、、满足：=++g（，，gR），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：

①若=，=，g，则A、B、C、D四点在同一平面上；

②若==g，|+||+||=1，<,>=<,>=，<,>=，则||=2；

③已知正项等差数列{an}(n，若a2，=a2009，g，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则的最小值为10；

④若=，=，g，则A、B、C三点共线且A分所成的比一定为4

 
已知非零向量、、、满足：=αZ+βZ+γZ（α，β，γ∈R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
①若α=，β=，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
②若α=β=γ=1，|Z|+||+||=1，＜，＞=＜，＞=，＜，＞=，则||=2；
③已知正项等差数列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则的最小值为10；
④若α=，β=-Z，γ=0，则A、B、C三点共线且A分所成的比λ一定为-4
其中你认为正确的所有命题的序号是    ．

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