Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹ （n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log

an

n+1

2，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B_3n-B_n＞

m

20

成立，求m的最大值；
（Ⅲ）令c_n=（-1）ⁿ⁺¹log

an

n+1

2，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，T_2n＜

2

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中给出的设数列{a_n}的前n项和为S_n便可求出数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列，将a1=4代入便可求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先求出数列bn的通项公式，然后求写前n项和Bn的表达式，进而求出的B_3n-B_n表达式，然后证明B_3n-B_n为递增数列，即当n=2时，B_3n-B_n最小，便可求出m的最大值．
（Ⅲ）先将所需证明的不等式化简为

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

2

2

，然后利用函数的导函数证明g（x）=ln（x+1）-

x

x+1

为增函数，即可证明当n∈N*且n≥2时，T_2n＜

2

2

．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．（2分）
又S₁=a₁=2a₁-2²，，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+（n-1）=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．（4分）
（注：该问也可用归纳，猜想，数学归纳法证明的方法）
（Ⅱ）因为b_n=log

an

n+1

2=log_2n2=

1

n

，则B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

．
令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，
则f（n+1）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

+

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

．
所以f（n+1）-f（n）=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

=

1

3n+1

+

1

3n+2

-

2

3n+3

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．（7分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

．
据题意，

m

20

＜

19

20

，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．（8分）
（Ⅲ）证明：因为c_n=（-1）ⁿ⁺¹•

1

n

，则当n≥2时，
T_2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n-1

+

1

2n

）-2（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．（9分）
下面证

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

2

2

．
先证一个不等式，当x＞0时，ln（x+1）＞

x

x+1

．
令g（x）=ln（x+1）-

x

x+1

（x＞0），则g′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，
则g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln（x+1）＞

x

x+1

，
令x=

1

n

，则ln

n+1

n

＞

1

n+1

?ln（n+1）-lnn＞

1

n+1

，
∴ln（n+2）-ln（n+1）＞

1

n+2

，
ln（n+3）-ln（n-2）＞

1

n+3

，
…，
ln（2n）-ln（2n-1）＞

1

2n

以上n个式相加，即有ln（2n）-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜ln（2n）-lnn＜ln2＜

2

2

从而原不等式得证．（14分）

点评：本题主要考查等差数列、等比数列、放缩法等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．