Question

（09年东城区二模理）（14分）

如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形,侧面底面，,分别为的中点.

（Ⅰ）求证:;

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

解

解析: (Ⅰ)取的中点,连结.

        ,

        .又平面平面,且平面,

        平面.故在平面内的射影为,

        .                                            …………………6分

   (Ⅱ)取的中点,作交于,连结，.

      在△中,分别为的中点,

     ∥.又平面,

     平面,由得.

     故为二面角的平面角.       ……………………9分

    设与交于,则为△的中心,

     .又,,

    ∥,.

在△中可得,

在△中,，

    在Rt△中,.

.

   二面角的大小为.               ………………14分

解法二: (Ⅰ) 取的中点,连结.

        ,

        .

又平面平面,且平面,

        平面.

        如图所示建立空间直角坐标系,

 

 

则.

.

则,

.                              ………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得设=为平面的一个法向量,

  取,得.

 .又为平面的法向量,

＜＞=.

二面角的大小为.                      ………………14分