Question

如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=

π

4

，BC=1．
（Ⅰ）若DC=

6

3

，求角A的大小；
（Ⅱ）若△BCD面积为

1

6

，求边AB的长．

Answer 1

分析：（1）在△BCD中，由正弦定理得到：

BC

sin∠BDC

=

CD

sin∠B

，计算得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；
（2）由于△BCD面积为

1

6

，得到

1

2

•BC•BD•sin

π

4

=

1

6

，得到BD，
再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cos

π

4

，再由DA=DC，即可得到边AB的长．

解答：解：（1）在△BCD中，B=

π

4

，BC=1，DC=

6

3

，
由正弦定理得到：

BC

sin∠BDC

=

CD

sin∠B

，
解得sin∠BDC=

sin π 4

6 3

=

3

2

，
则∠BDC=60°或120°．
又由DA=DC，则∠A=30°或60°．
（2）由于B=

π

4

，BC=1，△BCD面积为

1

6

，
则

1

2

•BC•BD•sin

π

4

=

1

6

，解得BD=

2

3

．
再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cos

π

4

=1+

2

9

-2×

2

3

×

2

2

=

5

9

，
故CD=

5

3

，
又由AB=AD+BD=CD+BD=

2

3

+

5

3

，
故边AB的长为：

2 + 5

3

．

点评：考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于基础题．