Question

在△ABC中，acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3

2

b，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=

 

．

Answer 1

分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成

a(2cos2 C 2 -1+1)

2

+

c(2cos2 A 2 -1+1)

2

=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．

解答：解：∵S=

1

2

absinC=asinC
∴b=2
∴acos²

C

2

+ccos²

A

2

=3
∴

a(2cos2 C 2 -1+1)

2

+

c(2cos2 A 2 -1+1)

2

=3
即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6
∴acosC+ccosA+a+c=6
∵acosC+ccosA=b=2
∴2+a+c=6
∴a+c=4
故答案为：4．

点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成

a(2cos2 C 2 -1+1)

2

+

c(2cos2 A 2 -1+1)

2

=3的形式，属于中档题．