Question

若正数x，y满足

4

x

+

1

y

=1，那么使不等式x+y-m＞0恒成立的实数m的取值范围是

（-∞，9）

．

Answer 1

分析：不等式x+y-m＞0恒成立?m＜（x+y）_min．由正数x，y满足

4

x

+

1

y

=1，利用基本不等式可得x+y=(x+y)(

4

x

+

1

y

)=5+

4y

x

+

x

y

≥5+2

4y x • x y

．

解答：解：∵不等式x+y-m＞0恒成立?m＜（x+y）_min．
∵正数x，y满足

4

x

+

1

y

=1，
∴x+y=(x+y)(

4

x

+

1

y

)=5+

4y

x

+

x

y

≥5+2

4y x • x y

=9，当且仅当y=3，x=6时取等号．
∴使不等式x+y-m＞0恒成立的实数m的取值范围是（-∞，9）．
故答案为（-∞，9）．

点评：正确等价转化和熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．