题目内容

若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而F(x)=
f(x)
x
在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”
(1)请分别判断f(x)=x+4,g(x)=x2+4x+2在x∈(1,2)是否是“弱增函数”,并简要说明理由.
(2)若函数h(x)=x2+(sinθ-
1
2
)x+b
(θ、b是常数)在(0,1]上是“弱增函数”,请求出θ及正数b应满足的条件.
分析:(1)依据“弱增函数”的定义逐个判断即可;
(2)由于h(x)在(0,1]上是“弱增函数”,所以h(x)在(0,1]上单调递增,
h(x)
x
在(0,1]上单调递减,由此可求出θ及正数b满足的条件.
解答:解:(1)由于f(x)=x+4在(1,2)上是增函数,且F(x)=
f(x)
x
=1+
4
x
在(1,2)上是减函数,
所以f(x)=x+4在(1,2)上是“弱增函数”;
g(x)=x2+4x+2在(1,2)上是增函数,但
g(x)
x
=x+4
+
2
x
在(1,2)上不单调,所以g(x)=x2+4x+2在(1,2)上不是“弱增函数”.
(2)因为h(x)=x2+(sinθ-
1
2
)x+b
(θ、b是常数)在(0,1]上是“弱增函数”
所以h(x)=x2+(sinθ-
1
2
)x+b
在(0,1]上是增函数,且F(x)=
h(x)
x
=x+
b
x
+(sinθ-
1
2
)
在(0,1]上是减函数,
h(x)=x2+(sinθ-
1
2
)x+b
在(0,1]上是增函数,得h′(x)≥0即2x+(sinθ-
1
2
)≥0在(0,1]上恒成立,
所以
-(sinθ-
1
2
)
2
≤0
,得sinθ
1
2
,解得θ∈[2kπ+
π
6
,2kπ+
6
],k∈Z.
由F(x)=
h(x)
x
在(0,1]上是减函数,得F′(x)≤0在(0,1]上恒成立,即1-
b
x2
≤0,b≥x2在(0,1]上恒成立,
所以b≥1.
综上所述,b≥1且θ∈[2kπ+
π
6
,2kπ+
6
]    k∈Z
时,h(x)在(0,1]上是“弱增函数”.
点评:本题以新定义的形式考查函数的单调性,考查运用所学知识分析解决新问题的能力.
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