题目内容
若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而F(x)=
在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”
(1)请分别判断f(x)=x+4,g(x)=x2+4x+2在x∈(1,2)是否是“弱增函数”,并简要说明理由.
(2)若函数h(x)=x2+(sinθ-
)x+b(θ、b是常数)在(0,1]上是“弱增函数”,请求出θ及正数b应满足的条件.
f(x) |
x |
(1)请分别判断f(x)=x+4,g(x)=x2+4x+2在x∈(1,2)是否是“弱增函数”,并简要说明理由.
(2)若函数h(x)=x2+(sinθ-
1 |
2 |
分析:(1)依据“弱增函数”的定义逐个判断即可;
(2)由于h(x)在(0,1]上是“弱增函数”,所以h(x)在(0,1]上单调递增,
在(0,1]上单调递减,由此可求出θ及正数b满足的条件.
(2)由于h(x)在(0,1]上是“弱增函数”,所以h(x)在(0,1]上单调递增,
h(x) |
x |
解答:解:(1)由于f(x)=x+4在(1,2)上是增函数,且F(x)=
=1+
在(1,2)上是减函数,
所以f(x)=x+4在(1,2)上是“弱增函数”;
g(x)=x2+4x+2在(1,2)上是增函数,但
=x+4+
在(1,2)上不单调,所以g(x)=x2+4x+2在(1,2)上不是“弱增函数”.
(2)因为h(x)=x2+(sinθ-
)x+b(θ、b是常数)在(0,1]上是“弱增函数”
所以h(x)=x2+(sinθ-
)x+b在(0,1]上是增函数,且F(x)=
=x+
+(sinθ-
)在(0,1]上是减函数,
由h(x)=x2+(sinθ-
)x+b在(0,1]上是增函数,得h′(x)≥0即2x+(sinθ-
)≥0在(0,1]上恒成立,
所以
≤0,得sinθ≥
,解得θ∈[2kπ+
,2kπ+
],k∈Z.
由F(x)=
在(0,1]上是减函数,得F′(x)≤0在(0,1]上恒成立,即1-
≤0,b≥x2在(0,1]上恒成立,
所以b≥1.
综上所述,b≥1且θ∈[2kπ+
,2kπ+
] k∈Z时,h(x)在(0,1]上是“弱增函数”.
f(x) |
x |
4 |
x |
所以f(x)=x+4在(1,2)上是“弱增函数”;
g(x)=x2+4x+2在(1,2)上是增函数,但
g(x) |
x |
2 |
x |
(2)因为h(x)=x2+(sinθ-
1 |
2 |
所以h(x)=x2+(sinθ-
1 |
2 |
h(x) |
x |
b |
x |
1 |
2 |
由h(x)=x2+(sinθ-
1 |
2 |
1 |
2 |
所以
-(sinθ-
| ||
2 |
1 |
2 |
π |
6 |
5π |
6 |
由F(x)=
h(x) |
x |
b |
x2 |
所以b≥1.
综上所述,b≥1且θ∈[2kπ+
π |
6 |
5π |
6 |
点评:本题以新定义的形式考查函数的单调性,考查运用所学知识分析解决新问题的能力.
练习册系列答案
相关题目