Question

【题目】（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点和，动点M满足，设点M的轨迹为C，半抛物线：（），设点．

（Ⅰ）求C的轨迹方程；

（Ⅱ）设点T是曲线上一点，曲线在点T处的切线与曲线C相交于点A和点B，求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设点，则可得向量的坐标，根据向量数量积公式可求得点的轨迹的轨迹方程．（Ⅱ）抛物线为，设（），对求导，根据导数的几何意义可得在点处的切线的斜率，从而可得切线方程．将切线方程和曲线方程联立消去整理为关于的一元二次方程．可知其判别式大于0，由韦达定理可得两根之和，两根之积．根据弦长公式可求得弦由点到线的距离公式可求得三角形的高，从而可得三角形面积．配方法可求得其最值及取最值时的值．

试题解析：解：（Ⅰ）设点，由，得，

所以的轨迹方程是；（4分）

（Ⅱ）抛物线为，设（），则，所以切线为：

，即，联立，，

判别式△，设，，则，过点作轴的垂线交直线于点，于是，得，则，

故△ABD的面积，此时．（12分）