Question

已知函数f（x）=lnx+

a-x

x

，其中a为常数，且a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由垂直直线的斜率关系列方程求a的值即可；
（2）对参数a进行分类，先研究f（x）在[1，2]上的单调性，利用导数求解f（x）在[1，2]上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得a的值．

解答：解：f′（x）=

1

x

+

-x-(a-x)

x2

=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）（4分）
（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x+1垂直，
所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（2）当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）_min=f（1）=a-1．
∴a-1=

1

2

，a=

3

2

，不合（8分）
当1＜a＜2时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）
∵对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（a）=lna．
∴lna=

1

2

，a=

e

，（11分）
当a≥2时，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为减函数，∴f（x）min=f（2）=ln2+

a

2

-1，
∴ln2+

a

2

-1=

1

2

，a=3-2ln2，不合．
综上，a的值为

e

．（13分）

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讲座思想、化归与转化思想．属于基础题．