Question

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列{

an-1

2n

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设bn=

an-1

2n

，b1=

5-1

2

=2bn+1-bn=

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=

1

2n+1

[(an+1-2an)+1]=

1

2n+1

[(2n+1-1)+1]=1，所以数列{

an-1

2n

}为首项是2、公差是1的等差数列．
（2）由题设知，

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)×1，所以a_n=（n+1）•2ⁿ+1．所以S_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ+n．由错位相减法能够求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵数列{

an-1

2n

}为等差数列
设bn=

an-1

2n

，b1=

5-1

2

=2bn+1-bn=

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=

1

2n+1

[(an+1-2an)+1]=

1

2n+1

[(2n+1-1)+1]=1，（6分）
可知，数列{

an-1

2n

}为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）
（2）由（1）知，

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)×1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．（8分）
∴S_n=（2•2¹+1）+（3•2²+1）+…+（n•2^n-1+1）+[（n+1）•2ⁿ+1]．
即S_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ+n．
令T_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，①
则2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹．②（12分）
②-①，得T_n=-2•2¹-（2²+2³++2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹+n=n•（2ⁿ⁺¹+1）．（15分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和错位相减求和法的合理运用．