题目内容

设x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)＝ax3＋bx2－a2x(a＞0)的两个极值点．

(1)若x1＝－1，x2＝2，求函数f(x)的解析式；

(2)若，求b的最大值．

(3)若x1＜x＜x2，且x2＝a，，求证：．

答案：
解析：

　　解：

　　(1)∵是函数的两个极值点，

　　∴，．∴，，

　　解得．∴　　4分

　　(2)∵是函数的两个极值点，∴．

　　∴是方程的两根．

　　∵，∴对一切恒成立．，

　　，

　　∵，∴．

　　∴．

　　由得，∴．

　　∵，∴，∴．令，

　　则．

　　当时，，∴在(0，4)内是增函数；

　　当时，，∴在(4，6)内是减函数．

　　∴当时，有极大值为96，∴在上的最大值是96，

　　∴的最大值是　　8分

　　(3)∵是方程的两根，

　　∴，∵，，∴．

　　∴

　　∵，

　　

　　

　　　　12分


练习册系列答案
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设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2
2
，求实数b的最大值；
（3）函数g（x）=f′（x）-a（x-x1）若x1＜x＜x2，且x2=a，求函数g（x）在（x1，x2）内的最小值．（用a表示）
设x1，x2是f（x）=
a
3
x3+
b-1
2
x2+x(a，b∈R，a＞0)的两个极值点，f（x）的导函数是y=f′（x）
（Ⅰ）如果x1＜2＜x2＜4，求证：f′（-2）＞3；
（Ⅱ）如果|x1|＜2，|x2-x1|=2，求b的取值范围；
（Ⅲ）如果a≥2，且x2-x1=2，x∈（x1，x2）时，函数g（x）=f′（x）+2（x-x2）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
设x1，x2为y=f（x）的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0；
②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0；
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0．
其中能推出函数y=f（x）为增函数的命题为
①③
①③
．
设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若，求实数b的最大值；
（3）函数g（x）=f'（x）-a（x-x1）若x1＜x＜x2，且x2=a，求函数g（x）在（x1，x2）内的最小值．（用a表示）
设x1，x2为y=f（x）的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0；
②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0；
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0．
其中能推出函数y=f（x）为增函数的命题为______．

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