Question

数列{a_n}是等差数列且a₁=1，a₅=5；数列{b_n}是正项等比数列，且b₁=2，b₂+b₃=12．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，易求d=1，设数列{b_n}的公比为q，由b₁=2，b₂+b₃=12可求得q，从而可得数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a_n•b_n=n•2ⁿ，T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则a₁+4d=5，又a₁=1，
解得d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
设数列{b_n}的公比为q，
∵b₁=2，b₂+b₃=12，
∴2q+2q²=12，
解得q=2，
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知，a_n•b_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：
T_n=2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，
故T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，突出错位相减法求和，属于中档题．