Question

已知直线l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0及点P（3，4）．
（1）证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．
（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线l方程化成a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0，再联解关于x、y的方程组，即可得到直线l经过的定点坐标；
（2）设直线l经过的定点为A，由平面几何知识，得到当PA⊥l时，点P到直线l的距离最大．因此算出直线PA的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线l的斜率，即可求出此时直线l的方程．
解答：解：（1）直线l方程可化为：a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0
由，解得x=-2且y=3，
∴直线恒l过定点A，其坐标为（-2，3）．
（2）∵直线恒l过定点A（-2，3）
∴当点P在直线l上的射影点恰好是A时，
即PA⊥l时，点P到直线l的距离最大
∵PA的斜率k_PA==
∴直线l的斜率k==-5
由此可得点P到直线l的距离最大时，
直线l的方程为y-3=-5（x+2），即5x+y+7=0．
点评：本题给出直线经过定点，求直线外一点P到直线的距离最大时直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．