Question

（2012•许昌二模）已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=-1，证明：对?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）当a=-1时，由（Ⅰ）f'（x）=-e^x（x+2）（x-1），从而得出f（x）在[0，1]上单调增加；欲证对?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，只须证明f（x）在[0，1]上的最大值与最小值的差小于2即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（x+1）．  （3分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（x+1）＞0，注意到a＞0，
∴当a∈（0，

1

2

）时，f（x）在（-∞，-

1

a

）上是增函数，在（-

1

a

，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上递增；
当a=

1

2

时，f（x）在（-∞，+∞）上递增；
当a∈（

1

2

，+∞）时，f（x）在（-∞，-2）上递增，
在（-2，-

1

a

）上递减，在（-

1

a

，+∞）上递增．           （8分）
（Ⅱ）∵a=-1，由（Ⅰ）f'（x）=-e^x（x+2）（x-1），
∴f（x）在[0，1]上单调增加，
故f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．
从而对?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．     （12分）

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．