Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=3，a₄=24，数列{b_n}满足：b₁=0，b_n+b_n+1=a_n，
（1）求证a_n=3×2^n-1；
（2）求证：b_n=2^n-1+（-1）ⁿ．

Answer 1

证明：（1）∵{a_n}是等比数列，a₁=3，a₄=24，
设公比为q，则3q³=24，∴q=2．   （2分）
∴a_n=3×2^n-1．   （2分）
（2）（数学归纳法）   （2分）
①当n=1时，b₁=0=2^1-1+（-1）¹，结论成立．
②假设当n=k时，结论成立即b_k=2^k-1+（-1）^k，则
∵b_n+b_n+1=a_n=3×2^n-1，∴2^k-1+（-1）^k+b_k+1=3×2^k-1，
∴b_k+1=2^k+（-1）^k+1，即当n=k+1时，结论也成立．
综合①②可知，b_n=2^n-1+（-1）ⁿ．   （2分）