题目内容
10．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角等于120°，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角等于135°，|$\overrightarrow{c}$|=3，则|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{6}$．分析 通过向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$构成三角形，利用∠BAC=60°，∠ABC=45°，计算进而即得结论．
解答 
解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$能构成三角形，
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角等于120°，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角等于135°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，∠ABC=180°-135°=45°，
过点C到AB边垂线CD交AB于D，
∵BC=|$\overrightarrow{c}$|=3，∴CD=BCsin∠ABC=3sin45°=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
又∵CD=ACsin∠BAC=ACsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{6}$，即|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{6}$，
故答案为：$\sqrt{6}$．
点评 本题考查求向量的模，利用$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$构建三角形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
活力课时同步练习册系列答案
| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}c{m^3}$ | B． | $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}c{m^3}$ | C． | $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}c{m^3}$ | D． | $\sqrt{3}c{m^3}$ |
三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．| A． | y=$\sqrt{{x}^{2}}$与y=x | B． | y=x0与y=1 | ||
| C． | y=2${\;}^{lo{g}_{4}x}$与y=$\frac{x}{\sqrt{x}}$ | D． | y=x与y=（$\sqrt{x}）^{2}$2 |
如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3．