Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求证：BD⊥PC；
（2）求三棱锥A-PCD的体积；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）如图所示，连接BD交AC于点O．利用正方形的性质可得BD⊥AC．利用线面垂直的判定与性质定理即可证明；
（2）利用四棱锥的体积计算公式V四棱锥P-ACD=

1

3

S△ACD•PA即可得出；
（3）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．

解答：（1）证明：如图所示，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又AC∩BD=O．
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA=2a是四棱锥P-ACD的高．
而S△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

a2．
∴V四棱锥P-ACD=

1

3

S△ACD•PA=

1

3

•

1

2

a2•2a=

1

3

a3．
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，2a）．
则

BC

=（0，a，0），

PC

=（a，a，-2a），

DC

=（a，0，0）．
设平面PAC的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • BC =ay=0 m • PC =ax+ay-2az=0

，令x=2，则y=0，z=1，∴

m

=(2，0，1)．
同理可得平面PCD的法向量

n

=（0，2，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

5 • 5

=

1

5

．
由图形可知：二面角B-PC-D的平面角是钝角，故其余弦值为-

1

5

．

点评：本题考查了正方形的性质、线面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角公式求二面角等基础知识与基本技能方法，属于难题．