Question

设x₁、x₂∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”：x₁⊕x₂=（x₁+x₂）²，定义运算“?”：x₁?x₂=（x₁-x₂）²；对于两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义．
（1）若x≥0，求动点P（x，） 的轨迹C；
（2）已知直线与（1）中轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，若，试求a的值；
（3）在（2）中条件下，若直线l₂不过原点且与y轴交于点S，与x轴交于点T，并且与（1）中轨迹C交于不同的两点P、Q，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设，根据新定义运算得出：y²=（x⊕a）-（x?a）=（x+a）²-（x-a）²=4ax，从而得出的轨迹方程即可；
（2）先将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用根据新定义运算即可求得a值，从而解决问题；
（3）根据新定义运算得到：，从而
设直线l₂：x=my+c，分别过P、Q作PP₁⊥y轴，QQ₁⊥y轴，垂足分别为P₁、Q₁，有=．由先将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用基本不等式即可求得试求的取值范围．
解答：解：（1）设，
则y²=（x⊕a）-（x?a）=（x+a）²-（x-a）²=4ax，
又由≥0，
可得P（x，） 的轨迹方程为y²=4ax（y≥0），轨迹C为顶点在原点，焦点为（a，0）的抛物线在x轴上及第一象限的内的部分；
（2）由已知可得，整理得x²+（4-16a）x+4=0，
由△=（4-16a）²-16=16²a²-8×16a≥0，得．
∵a＞0，∴．
∴=，
解得a=2或（舍）．
（3）∵，
∴
设直线l₂：x=my+c，
依题意m≠0，c≠0，则T（c，0）
分别过P、Q作PP₁⊥y轴，QQ₁⊥y轴，垂足分别为P₁、Q₁，
则=．
由消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0．
∴≥．
∵x_P、x_Q取不相等的正数，∴取等的条件不成立，
∴的取值范围是（2，+∞）．
点评：本题抽象函数、新定义函数类型的概念，不等式的性质，放缩法的技巧，对于新定义类型问题，在解答时要先充分理解定义才能答题，避免盲目下笔，遇到困难才来重头读题，费时费力，另外要在充分抓住定义的基础上，对式子的处理要灵活，各个式子的内在联系要充分挖掘出来，可现有结论向上追溯，看看需要哪些条件才能得出结果，再来寻求转化取得这些条件．属中档题．